belajar matematika

SD - 1
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
Operasi Hitung Bilangan Pecahan
Operasi Hitung Dalam Matematika (Bagian 2 - SD)
Operasi Hitung Pada Bilangan Pecahan :
• Penjumlahan pada bilangan pecahan :
- Penjumlahan pecahan dengan penyebut yang sama :
Rumus :
c
a +
c
b =
c
a+ b
;
c
a ;
c
b pembilang
Penyebut
Contoh :
7
5 +
7
2 =
7
5+ 2
=
7
7 = 1
Pembilang dijumlahkan dengan pembilang (5+2)
Penyebut tidak dijumlahkan karena nilainya sama (7)
- Penjumlahan pecahan dengan penyebut yang tidak sama :
Rumus :
c
a +
d
b =
cxd
axd +
cxd
cxb 􀃆 rumus 1
c
a +
d
b =
KPK
(KPK) : c)xa +
KPK
(KPK : d)xb 􀃆 rumus 2
Contoh :
7
5 +
3
2 =
7 3
5 3
x
x +
7 3
7 2
x
x =
21
15 +
21
14 =
21
29
Untuk penjumlahan dengan penyebut yang tidak sama, penyebutnya harus disamakan
terlebih dahulu dengan dua cara :
1. dengan mengalikan kedua penyebut 􀃆 rumus 1
2. dengan menentukan KPK nya 􀃆 rumus 2
(contoh diatas KPK dari 3 dan 7 adalah 21)
Cara 1 : menurut penulis lebih cepat
SD - 2
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
• Pengurangan pada bilangan pecahan
- Pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama :
Rumus :
c
a -
c
b =
c
a− b
; c ≠ 0
Contoh :
7
5 -
7
2 =
7
5− 2
=
7
3
Apabila penyebutnya sama, pembilang bisa langsung dikurangkan
- Pengurangan pecahan dengan penyebut yang tidak sama :
Rumus :
c
a -
d
b =
cxd
axd -
cxd
cxb 􀃆 rumus 1
c
a -
d
b =
KPK
(KPK) : c)xa -
KPK
(KPK : d)xb 􀃆 rumus 2
Contoh :
7
5 -
3
2 =
7 3
5 3
x
x -
7 3
7 2
x
x =
21
15 -
21
14 =
21
1
Untuk pengurangan dengan penyebut yang tidak sama, penyebutnya harus disamakan
terlebih dahulu dengan dua cara sama seperti dengan penjumlahan:
1. dengan mengalikan kedua penyebut 􀃆 rumus 1
2. dengan menentukan KPK nya 􀃆 rumus 2
• Perkalian bilangan pecahan :
Dalam perkalian bilangan pecahan : pembilang dikalikan dengan pembilang ; penyebut
dikalikan dengan penyebut
- Perkalian bilangan pecahan dengan bilangan bulat :
Rumus :
c
a x b =
c
axb ; c ≠ 0
Contoh :
7
5 x 4 =
7
5 x
1
4 =
7
5x4 =
7
20 ;
SD - 3
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
- Perkalian bilangan pecahan dengan bilangan pecahan :
Rumus :
c
a x
d
b =
cxd
axb ; c dan d ≠ 0
Contoh :
7
5 x
5
4 =
7 5
5 4
x
x =
35
20
- Perkalian bilangan pecahan dengan bilangan pecahan campuran :
Contoh : 2
5
3 x
3
2 =
5
(5x2) + 3 x
3
2 =
5
13 x
3
2 =
5 3
13 2
x
x =
15
36 = 2
15
6
• Pembagian bilangan pecahan :
- Pembagian bilangan pecahan dengan bilangan pecahan
Rumus :
c
a :
d
b =
c
a x
b
d =
cxb
axd
Menjadi perkalian dengan bilangan keduanya (pembilang dan penyebutnya ditukar)
Contoh :
7
5 :
5
4 =
7
5 x
4
5 =
7 4
5 5
x
x =
28
25
- Pembagian bilangan pecahan biasa dengan bilangan pecahan campuran
contoh : 3
4
3 :
5
2 =
4
4x3 + 3 x
2
5 =
4
15 x
2
5 =
4 2
15 5
x
x =
8
75 = 9
8
3
Bilangan pecahan campuran dibuat dulu menjadi bilangan pecahan biasa
- Pembagian bilangan cacah dengan bilangan pecahan :
Contoh : 3 :
5
2 =
5
15 x
2
5 =
2
15
Bilangan cacah diubah menjadi bilangan pecahan dengan penyebutnya mengikuti
penyebut bilangan kedua
SD - 4
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
Menyederhanakan bentuk pecahan :
Caranya yaitu dengan membagi pembilang dan penyebutnya dengan FPB dari
keduanya :
Contoh : Bentuk sederhana dari
15
12 ?
Faktor prima dari 12 = 2 x 2 x 3 = 22 x 3
Faktor prima dari 15 = 3 x 5
FPB dari 12 dan 15 adalah 3
Sehingga bentuk sederhananya dengan membagi pembilang dan penyebutnya dengan 3
15
12 =
15 : 3
12 : 3 =
5
4
Mengubah pecahan campuran ke pecahan biasa :
Rumus : a
c
b =
c
(cxa) + b
Contoh : 3
4
2 =
4
(4x3) + 2 =
4
14
Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan persen :
Pecahan persen adalah pecahan biasa dengan penyebutnya 100
Contoh :
25
15 =
25 4
15 4
x
x =
100
60 = 60 %
10
7 =
10 10
7 10
x
x =
100
70 = 70 %
SD - 5
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal :
Mengubah penyebut ke bilangan perpangkatan 10 (10,100,1000,…)
Contoh :
5
4 =
5 2
4 2
x
x =
10
8 = 0,8
20
9 =
20 5
9 5
x
x =
100
45 = 0,45
- Jika bilangan bulat positif dijumlahkan dengan bilangan bulat negatif yang nilainya
sama maka hasilnya adalah 0 (nol)
contoh :
6 + (-6) = 0
Sifat-sifat Penjumlahan :
1. Sifat Asosiatif
SD - 6
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
( a + b ) + c = a + ( b + c )
Contoh :
(5 + 3 ) + 4 = 5 + ( 3 + 4 ) = 12
2. Sifat Komutatif
a + b = b + a
Contoh :
7 + 2 = 2 + 7 = 9
3. Unsur Identitas terhadap penjumlahan
Bilangan Nol (0) disebut unsur identitas atau netral terhadap penjumlahan
a + 0 = 0 + a
Contoh :
6 + 0 = 0 + 6
4. Unsur invers terhadap penjumlahan
Invers jumlah (lawan) dari a adalah -a
Invers jumlah (lawan) dari – a adalah a
a + (-a) = (-a) + a
contoh :
5 + (-5) = (-5) + 5 = 0
5. Bersifat tertutup
Apabila dua buah bilangan bulat ditambahkan maka hasilnya adalah
bilangan bulat juga.
a dan b ∈ bilangan bulat maka a + b = c ; c ∈ bilangan bulat
contoh :
4 + 5 = 9 ; 4,5,9 ∈ bilangan bulat
• Pengurangan Bilangan Bulat
a. Apabila terjadi pengurangan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif maka:
1. Bilangan bulat positif dikurangi dengan bilangan bulat positif yang lebih kecil maka
hasilnya dalah bilangan bulat positif
Contoh :
9 – 5 = 4
SD - 7
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
2. Bilangan bulat positif dikurangi dengan bilangan bulat positif yang lebih besar maka
hasilnya adlah bilangan bulat negatif
Contoh :
3 – 6 = -3
b. Apabila terjadi pengurangan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif maka:
1. Bilangan bulat negatif dikurangi dengan bilangan bulat negatif yang lebih kecil
maka hasilnya adalah bilangan bulat positif
Contoh :
-6 - (-8) = -6 + 8 = 2 (ingat - 8 < -6 )
2 Bilangan bulat negatif dikurangi dengan bilangan bulat negatif yang lebih besar
maka hasilnya adalah bilangan bulat negatif
Contoh :
-5 – (-3) = -5 +3 = -2 ( -3 > -5 )
3. Bilangan bulat negatif yang dikurangi sama dengan bilangan bulat negatif yang
mengurangi maka hasilnya adalah 0 (nol)
Contoh :
-4 - (-4) = -4 + 4 = 0
c. Pengurangan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif hasilnya selalu
bilangan bulat positif
contoh :
8 – (-4) = 8 + 4 = 12
d. Pengurangan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif hasilnya selalu
bilangan bulat negatif
contoh :
-8 – 4 = - 12
SD - 8
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
e. Pengurangan dilakukan dengan cara bersusun
contoh :
212 - 19 = ?
Proses perhitungan
212 1. Kurangi 2 dengan 9, karena 2 kurang dari 9 maka pinjam puluhan dari
19 - angka disampingnya, sehingga menjadi 12 dikurang 9 hasilnya 3
193 2. Karena angka 1 (puluhan) pada 212 sudah dipinjam 1 maka sekarang
menjadi 0, karena 0 dikurang 1 dari angka 19 tidak bisa maka pinjam
1 angka ratusan dari 2 (ratusan) menjadi 10 kemudian dikurangi 1
hasilnya 9
3. Karena angka 2 (ratusan) pada 212 sudah dipinjam 1, maka sekarang
menjadi 1, kemudian dikurangi dengan tidak ada angka dibawahnya
(=0) menjadi 1
4. Hasilnya adalah 193
Pengurangan dan Sifat-sifatnya
1. Untuk sembarang bilangan bulat berlaku :
a – b = a + (-b)
a – (-b) = a + b
contoh:
8 – 5 = 8 + (-5) = 3
7 – (-4) = 7 + 4 = 11
2. Sifat Komutatif dan asosiatif tidak berlaku
a – b ≠ b - a
(a – b ) – c ≠ a – ( b – c )
Contoh :
7 – 3 ≠ 3 -7 􀃆 4 ≠ - 4
(9 – 4) – 3 ≠ 9 – (4-3) 􀃆 2 ≠ 8
3. Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat :
a – 0 = a dan 0 – a = -a
4. Bersifat tertutup, yaitu bila dua buah bilangan bulat dikurangkan
hasilnya adalah bilangan bulat juga
:
a dan b ∈ bilangan bulat maka a - b = c ; c ∈ bilangan bulat
contoh :
SD - 9
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
7 - 8 = -1 ; 7,8,-1 ∈ bilangan bulat
• Perkalian
Penjumlahan berulang
a. Perkalian Bilangan Cacah
1. Cara mendatar
- pekalian dua bilangan dengan 1 angka :
4 x 2 = 4 + 4 = 8
- pekalian bilangan 1 angka dengan bilangan 2 angka :
3 x 13 =
puluhan dan satuan dipisahkan :
3 x 13 = 3 x (10 + 3)
= (3x10) + (3 x 3 )
= 30 + 9
= 39
- perkalian dua bilangan dengan 2 angka :
14 x 15 =
14 x 15 = 14 x (10+5)
= (14x10) + (14x5) 􀃆 14 x 5 = (10+4) x 5 = (10x5)+(4x5) = 50+20 = 70
= 140 + 70
= 210
- perkalian bilangan kelipatan sepuluh (puluhan, ratusan, ribuan,…)
yang dikalikan hanya bilangan yang bukan nol, jumlah puluhannya dijumlahkan dan
ditulis di belakang hasilnya :
30 x 60 = (3 x 6) 00 = 1800
2. Cara bersusun
12 x 68 =
Proses perhitungan :
12 1. kalikan 8 dan 2 (dari angka12), hasilnya 16: tulis angka 6 dan simpan 1
68 x 2. kalikan 8 dan 1 (dari angka12), hasilnya 8, ditambah angka simpanan 1
96 hasilnya 9 (dibaris pertama hasilnya 96)
SD - 10
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
72 + 3. kalikan 6 dan 2, hasilnya 12 : tulis angka 2 dan simpan 1
816 (di bawah angka 9 bergeser 1 kolom ke kiri))
4. Kalikan 6 dan 1, hasilnya 6, ditambah angka simpanan 1
hasilnya 7
5. Ditambahkan hasil (1,2) dan (3,4) = 816
a. Perkalian Bilangan Bulat
- hasil perkalian dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif
(+) x (+) = (+)
Contoh: 7 x 6 = 6 x 7 = 42
-hasil perkalian bilangan bulat positif dan negatif hasilnya adalah bilangan bulat negatif
(+) x (-) = (-)
Contoh : 3 x -4 = -12
-hasil perkalian dua bilangan bulat negatif hasilnya adalah bilangan bulat positif
(-) x (-) = (+)
Contoh : -4 x -5 = 20
• Perkalian dan Sifat-sifatnya
1. Sifat Asosiatif
(a x b) x c = a x (b x c)
Contoh: (2 x 3) x 4 = 2 x (3x4) = 24
2. Sifat komutatif
a x b = b x a
Contoh : 5 x 4 = 4 x 5 = 20
3. Sifat distributif
a x (b+c) = (a x b ) + (a x c)
Contoh : 3 x ( 2 +6) = (3 x 2) + (3 x 6) = 24
4 Unsur identitas untuk perkalian
- hasil perkalian bilangan bulat dengan nol hasilnya adalah bilangan nol
a x 0 = 0
- hasil perkalian bilangan bulat dengan 1 hasilnya adalah bilangan bulat itu juga
a x 1 = 1 x a = a
5. Bersifat tertutup
Jika dua bilangan bulat dikalikan maka hasilnya adalah bilangan bulat juga
a x b = c ; a, b, c ∈ bilangan bulat
SD - 11
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
• Pembagian
• Pembagian dan Sifat-sifatnya
1. Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan positif
(+) : (+) = (+)
Contoh : 8 : 2 = 4
2. Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan positif
(-) : (-) = (+)
Contoh : -10 : -5 = 2
3. Hasil bagi dua bilangan bulat yang berbeda adalah bilangan negatif
(+) : (-) = (-)
(-) : (+) = (-)
Contoh : 6 : -2 = -3
-12 : 3 = -4
4. Hasil bagi bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah tidak terdefinisi
a : 0 􀃆 tidak terdefinisi (~)
0 : a 􀃆 0 (nol)
Contoh :
0
5 = ~ (Tidak terdefinisi)
5. Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif
a : b ≠ b : a
(a:b):c ≠ a : (b:c)
Contoh : 4 :2 ≠ 2 : 4 􀃆 2 ≠
2
1
(8:2) : 4 ≠ 8 : (2:4) 􀃆 1 ≠ 16
6. Bersifat tidak tertutup
Jika dua bilangan bulat dibagi hasilnya belum tentu bilangan bulat juga
contoh : 6 : 2 = 3 􀃆 bilangan bulat
7 : 2 = 3
2
1 􀃆 bukan bilangan bulat (bilangan pecahan)
• Pemangkatan bilangan bulat
an = a x a x a x … x a
SD - 12
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
Sejumlah n faktor
Contoh : 43 = 4 x 4 x 4 = 64
35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
• Akar pangkat dua dan akar pangkat tiga bilangan bulat
1. Akar kuadrat (akar pangkat dua)
a = b 􀃆 ( a ) 2 = b2 􀃆 a = b2 = b x b
Contoh : 81 = ? 􀃆 81 = 92 = 9 x 9 􀃆 b = 9
20 = ? 􀃆 20 = b2 􀃆 b = nilainya tidak bulat
20 = 4x5 = 4 x 5 = 2 5
Tabel :
1 = 1x1 = 1
4 = 2x2 = 2
9 = 3x3 = 3
16 = 4x4 = 4
25 = 5x5 = 5 dan seterusnya
2. Akar kubik (akar pangkat tiga)
3 a = b 􀃆 (3 a ) 3 = b3 = b x b x b
Contoh : 3 27 = ? 􀃆 27 = 33 = 3 x 3 x 3 􀃆 b = 3
3 54 = ? 􀃆 3 27x2 = 3 27 x 3 2 = 3 3 2
Tabel :
3 1 = 3 1x1x1 = 1
3 8 = 3 2x2x2 = 2
3 27 = 3 3x3x3 = 3
3 64 = 3 4x4x4 = 4
3 125 = 3 5x5x5 = 5 dan seterusnya